Damcaniaeth setiau

Damcaniaeth setiau
	Eicon damcaniaeth setiau
Enghraifft o'r canlynol	maes o fewn mathemateg, damcaniaeth mathemategol
Rhan o	Mathematical logic, set theory, lattices and universal algebra, theory of sets, relations and functions
	Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Cangen o resymeg fathemategol sy'n ymwneud â phriodweddau setiau yw damcaniaeth setiau neu theori setiau; gellir ei disgrifio'n anffurfiol fel casgliadau o wrthrychau. yn ymwneud yn bennaf â'r gwrthrychau hynny sy'n berthnasol i fathemateg yn ei chyfanrwydd.

Datblygwyd y ddamcaniaeth yn gyntaf gan Georg Cantor gyda chymorth Richard Dedekind yn y 1870au, yn seiliedig ar waith George Boole. Roedd y ddisgyblaeth yn arloesol gan iddi drin setiau anfeidraidd yn yr un modd â gwrthrychau mathemategol meidraidd.^[1] Ar droad y ganrif, darganfuwyd nifer o groesosodiadau a gwrthfynegiadau yn y damcaniaeth wreiddiol, a elwir bellach yn ddull naïf. Felly, datblygodd felly sylfaen wirebol (acsiomatig) i ddamcaniaeth setiau, yn debyg i geometreg elfennol. O'r holl ddamcaniaethau setiau gwirebol y mwyaf adnabyddus yw'r system Zermelo–Fraenkel gyda'r wireb o ddewis. Mae'r systemau anffurfiol yr ymchwiliwyd iddynt yn ystod y cyfnod cynnar hwn yn mynd o dan yr enw damcaniaeth setiau naïf. Ar ôl darganfod paradocsau o fewn y ddamcaniaeth setiau naïf (megis paradocs Russell, paradocs Cantor a pharadocs Burali-Forti) cynigiwyd amryw o systemau gwirebol yn gynnar yn yr 20g, a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw ddamcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel.

Erbyn heddiw, defnyddir y ddamcaniaeth hon fel system sy'n sylfaenol i fathemateg, yn enwedig ar ffurf damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel gyda'r wireb o ddewis.^[2] Mae ddamcaniaeth setiau hefyd yn darparu'r fframwaith i theori yr anfeidredd, ac mae ganddo gymwysiadau amrywiol mewn gwyddoniaeth gyfrifiadurol (megis yn theori algebra perthynol), athroniaeth a semanteg ffurfiol. Mae ei apêl sylfaenol, ynghyd â’i baradocsau, ei oblygiadau ar gyfer y cysyniad o anfeidredd a’i gymwysiadau lluosog, wedi gwneud damcaniaeth setiau yn faes o ddiddordeb mawr i resymegwyr ac athronwyr mathemateg. Mae ymchwil gyfoes i damcaniaeth setiau yn ymdrin ag ystod eang o bynciau, yn amrywio o strwythur y llinell rif real i astudio cysondeb prifolion mawr.

Hanes

Mae pynciau mathemategol fel arfer yn dod i'r amlwg ac yn esblygu trwy ryngweithio ymhlith llawer o ymchwilwyr. Fodd bynnag, sefydlwyd damcaniaeth setiau mewn un papur academaidd, ym 1874 gan yr Almaenwr Georg Cantor: "Ar Nodweddion y Casgliad o'r Holl Rifau Algebraidd Real" ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen").^[3]^[4]

Ers y 5g CC, gan ddechrau gyda'r mathemategydd Groegaidd Zeno o Elea yn y Gorllewin a mathemategwyr Indiaidd cynnar yn y Dwyrain, roedd mathemategwyr wedi cael trafferth gyda'r cysyniad o anfeidredd . Yn arbennig o nodedig mae gwaith Bernard Bolzano yn hanner cyntaf y 19eg ganrif.^[5] Dechreuodd dealltwriaeth fodern o anfeidredd ym 1870-1874, a chafodd ei ysgogi gan waith Cantor mewn dadansoddi go iawn .^[6] Dylanwadodd cyfarfod 1872 rhwng Cantor a Richard Dedekind ar feddwl Cantor, a daeth i ben gyda phapur Cantor yn 1874.

Ar y dechrau, polareiddwyd mathemategwyr y dydd, sef cyfoeswyr Cantor, yn llwyr, gyda Karl Weierstrass a Dedekind yn cefnogi Cantor, a Leopold Kronecker, (sydd bellach yn cael ei ystyried yn sylfaenydd adeiladaeth fathemategol) yn ei wrthwynebu. Damcaniaeth setiau Cantor enillodd y frwydr yn y pen draw, oherwydd defnyddioldeb cysyniadau Cantor, fel ei 'gyfatebiaeth un i un' ymhlith setiau, ei brawf bod mwy o rifau real na chyfanrifau, ac "anfeidredd yr anfeidredd" ("paradwys Cantor") sy'n deillio o weithredu'r set pŵer. Arweiniodd hyn at yr erthygl dylanwadol "Mengenlehre", a gyfrannwyd ym 1898 gan Arthur Schoenflies i wyddoniadur Klein.

Daeth y don nesaf o gyffro mewn damcaniaeth setiau tua 1900, pan ddarganfuwyd bod rhai dehongliadau o'r theori wedi arwain at sawl gwrthddywediad, o'r enw gwrthinomau neu baradocsau. Daeth y CymroBertrand Russell ac Ernst Zermelo o hyd i'r paradocs symlaf a mwyaf adnabyddus, a elwir bellach yn baradocs Russell: ystyriwch "set yr holl setiau nad ydyn nhw'n aelodau ohonyn nhw eu hunain", sy'n arwain at wrthddywediad gan fod yn rhaid iddo fod yn ddau beth: yn aelod ohono'i hun ac nid a aelod ohono'i hun. Yn 1899, roedd Cantor ei hun wedi gofyn y cwestiwn "Beth yw rhif prifol set yr holl setiau?", a thrwy hyn wedi sicrhau paradocs cysylltiedig. Defnyddiodd Russell ei baradocs fel thema yn ei adolygiad ym 1903 o fathemateg gyfandirol yn ei The Principles of Mathematics. Yn hytrach na'r term a osodwyd, defnyddiodd Russell y term Dosbarth, a ddefnyddiwyd yn fwy technegol wedi hynny.

Ym 1906, ymddangosodd y term set yn y llyfr Theory of Sets of Points^[7] gan ŵr a gwraig William Henry Young a Grace Chisholm Young, a gyhoeddwyd gan Cambridge University Press .

Roedd momentwm y trafodaethau ynghylch damcaniaeth setiau yn golygu nad anghofiwyd y ddadl ar y paradocsau. Arweiniodd gwaith Zermelo ym 1908 a gwaith Abraham Fraenkel a Thoralf Skolem ym 1922 at y set o wirebau ZFC, a ddaeth yn set o wirebau a ddefnyddir amlaf ar gyfer damcaniaeth setiau. Dangosodd gwaith dadansoddwyr, fel Henri Lebesgue, ddefnyddioldeb mathemategol y ddamcaniaeth setiau, sydd bellach wedi ei blethu i wead mathemategol fodern. Defnyddir damcaniaeth setiau yn gyffredin fel system sylfaen, er mewn rhai meysydd - fel geometreg algebraidd a thopoleg algebraidd - credir bod y theori categori yn sylfaen fwy addas.

Cysyniadau a nodiant sylfaenol

Mae damcaniaeth setiau yn dechrau gyda pherthynas ddeuaidd sylfaenol rhwng gwrthrych o a set $A$ , Os yw o yn aelod (neu'n elfen) o $A$ , defnyddir y nodiant $o \in A$ . Disgrifir set trwy restru elfennau'r set, wedi'u gwahanu gan atalnodau, neu grwpio elfennau tebyg o fewn {}.^[8] Gan fod setiau yn wrthrychau, gall y berthynas rhwng yr aelodau hefyd gysylltu setiau a'i gilydd.

Perthynas ddeuaidd ddeilliedig rhwng dwy set yw'r berthynas rhwng yr is-setiau, a elwir hefyd yn gynhwysiant y set (set inclusion\). Os yw holl aelodau set $A$ hefyd yn aelodau o set $B$ , yna mae $A$ yn is-set o $B$ , a ddynodir fel $A \subseteq B$ . Er enghraifft, mae {1, 2} yn is-set o {1, 2, 3}, ac felly hefyd {2} ond nid yw {1, 4}. Fel yr awgrymir gan y diffiniad hwn, mae set yn is-set ohono'i hun. Ar gyfer achosion lle mae'r posibilrwydd hwn yn anaddas neu lle byddai'n gwneud synnwyr ei wrthod, diffinnir y term fel is-set briodol. Mae $A$ yn is- set briodol o $B$ os ac yn unig os yw $A$ yn is-set o $B$ , ond nid yw $A$ yn hafal i $B$ . Hefyd, mae 1, 2, a 3 yn aelodau (elfennau) o'r set {1, 2, 3}, ond nid ydyn nhw'n is-setiau ohoni; ac yn eu tro, nid yw'r is-setiau, fel ${1$ }, yn aelodau o'r set ${1, 2, 3$ }.

Yn yr un modd ag y mae rhifyddeg yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar rifau, mae damcaniaeth setiau yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar setiau.^[9] Mae'r canlynol yn rhestr rannol ohonynt:

Uniad (union) y setiau $A$ a $B$ , a ddynodir fel $A \cup B$ , yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelod o $A$ , neu $B$ , neu'r ddau.^[10] Er enghraifft, cyswllt {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {1, 2, 3, 4}.
Croestoriad (intersection) y setiau $A$ a $B$ , a ddynodir fel $A \cap B$ , yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelodau o $A$ a $B$ .Er enghraifft, croestoriad {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {2, 3}.
Gwahaniaeth (neu 'cyflenwad?) set $U$ ac A, a ddynodir fel $U \ A$ , yw set holl aelodau $U$ nad ydynt yn aelodau o $A$ . Y gwahaniaeth set {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} yw {1}, ond i'r gwrthwyneb, y gwahaniaeth gosod {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} yw {4}. Pan fo $A$ yn is-set o $U$ , gelwir y gwahaniaeth set $U \ A$ hefyd yn wahaniaeth / gyflenwad $A$ yn $U$ . Yn yr achos hwn, os yw'r dewis o $U$ yn glir o'r cyd-destun, weithiau defnyddir $A c$ , yn hytrach na $U \ A$ , yn enwedig os yw $U$ yn set gyffredinol (universal set) fel yn yr astudiaeth o ddiagramau Venn.
Gwahaniaeth cymesur setiau $A$ a $B$ , a ddynodir fel $A △ B$ neu $A ⊖ B$ , yw set yr holl wrthrychau sy'n aelod o naill ai $A$ a $B$ . Er enghraifft, ar gyfer y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4}, y set gwahaniaeth cymesur yw {1, 4}. Mae'n set gwahaniaeth o'r cyswllt a'r croestoriad, $(A ∪ B) \ (A ∩ B)$ neu $(A \ B) ∪ (B \ A)$ .
Y cyfanswm Cartesaidd $A$ a $B$ , a ddynodir fel $A \times B$ , yw'r set y mae ei aelodau i gyd yn barau trefnus $(a, b)$ , lle mae $a$ yn aelod o $A$ , a $b$ yn aelod o $B$ . Er enghraifft, cyfanswm Cartesaidd .{1, 2} a {red, white} yw {(1, red), (1, gwyn), (2, coch), (2, gwyn)}.
Set bŵer o set $A$ , wedi'i dynodi fel ${\mathcal {P}}(A)$ , yw'r set y mae ei haelodau i gyd yn is-setiau posib $A$ . Er enghraifft, set pŵer ${1, 2$ } yw ${ {}, {1}, {2}, {1, 2}$ }.

Ymhlith y setiau pwysicaf y mae'r set o rifau naturiol, y set o rifau real a'r set wag - y set unigryw sy'n cynnwys dim elfennau. Weithiau gelwir y set wag yn set nwl,^[11] er bod yr enw hwn yn amwys a gall arwain at sawl dehongliad.

Ontoleg

Mae set yn bur os yw ei holl aelodau'n setiau, ac mae pob aelod o'i aelodau'n setiau.. ac ati. Er enghraifft, mae'r set ${{}}$ sy'n cynnwys y set wag yn unig yn set bur nad-yw'n-wag. Mewn damcaniaeth setiau fodern, mae'n gyffredin cyfyngu sylw i setiau pur bydysawd von Neumann, ac mae llawer o systemau damcaniaeth setiau gwirebol wedi'u cynllunio i wirebu'r setiau pur yn unig. Mae yna lawer o fanteision technegol i'r cyfyngiad hwn, ac ychydig o gyffredinolrwydd yn cael ei golli, oherwydd yn y bôn gellir modelu pob cysyniad mathemategol gan setiau pur. Mae setiau ym mydysawd von Neumann wedi'u trefnu'n hierarchaeth gronnus (cumulative hierarchy), yn seiliedig ar ba mor ddwfn y mae eu haelodau, aelodau ei aelodau, ac ati yn nythu. Neilltuir trefnolion bob set yn yr hierarchaeth hon (trwy anwythiad trawsffiniol) $\alpha$ , a elwir ei reng. Diffinnir rheng y set bur $X$ fel y trefnolyn lleiaf sy'n uwch na rheng unrhyw un o'i elfennau. Er enghraifft, rhoddir safle 0 i'r set wag, tra bod y set ${{}}$ (sy'n cynnwys y set wag yn unig) yn cael ei phenodi i safle 1. Ar gyfer pob trefnolyn $\alpha$ , diffinnir set $V_{\alpha }$ i gynnwys pob set bur gyda rheng llai na $\alpha$ . Dynodir y bydysawd von Neumann gyfan fel $V$ .

Damcaniaeth set ffurfiol

Gellir astudio damcaniaeth setiau elfennol yn anffurfiol ac yn reddfol, ac felly gellir ei dysgu mewn ysgolion cynradd gan ddefnyddio diagramau Venn. Mae'r dull greddfol yn cymryd yn ganiataol y gellir ffurfio set ddosbarth o'r holl wrthrychau sy'n bodloni unrhyw amod diffiniol penodol. Mae'r dybiaeth hon yn arwain at baradocsau, a'r symlaf a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw paradocs Russell a pharadocs Burali-Forti. Dyfeisiwyd damcaniaeth setiau gwirebol yn wreiddiol i gael gwared ar y paradocsau ym myd damcaniaeth setiau.^{[note 1]}

Cymhwyso

Gellir diffinio llawer o gysyniadau mathemategol yn union gan ddefnyddio cysyniadau damcaniaethol penodol yn unig. Er enghraifft, gellir diffinio strwythurau mathemategol mor amrywiol â graffiau, maniffoldiau, cylchoedd, gofodau fector, ac algebrâu perthynol i gyd fel setiau sy'n bodloni priodweddau gwirebol, amrywiol. Mae cywerthedd a pherthynas trefn (order relations) yn hollbresennol mewn mathemateg, a gellir disgrifio theori perthynas mathemategol mewn damcaniaeth setiau.

Fel a nodwyd yn barod, mae damcaniaeth setiau hefyd yn system sylfaen addawol ar gyfer llawer o fathemateg. Ers cyhoeddi cyfrol gyntaf Principia Mathematica gan Bertrand Russell yn 1910, honnwyd y gellir deillio’r mwyafrif (neu hyd yn oed) o ddamcaniaethau mathemategol gan ddefnyddio set o wirebau a ddyluniwyd yn briodol ar gyfer y ddamcaniaeth setiau, ynghyd â llawer o ddiffiniadau, gan ddefnyddio rhesymeg gorchymyn cyntaf neu ail-drefn. . Er enghraifft, gellir deillio priodweddau'r rhifau naturiol a rhifau real o fewn damcaniaeth setiau, oherwydd gellir nodi pob system rif gyda set o ddosbarthiadau cywerth o dan berthynas cywerthedd addas, sydd a'i faes yn set anfeidrol.

Mae damcaniaeth setiau fel sylfaen ar gyfer dadansoddi mathemategol, topoleg, algebra haniaethol, a mathemateg arwahanol (discrete mathematics) yn ddadleuol yn yr un modd; mae mathemategwyr yn derbyn (mewn egwyddor) y gall theoremau yn y meysydd hyn ddeillio o'r diffiniadau perthnasol a gwirebau damcaniaeth setiau. Fodd bynnag, erys mai ychydig o ddeilliadau llawn o theoremau mathemategol cymhlyg o ddamcaniaeth setiau sydd wedi'u dilysu'n ffurfiol, gan fod deilliadau ffurfiol o'r fath yn aml yn llawer hirach na'r proflenni iaith naturiol y mae mathemategwyr yar hyn o bryd yn eu cyflwyno. Mae un prosiect gwirio, Metamath, yn cynnwys deilliadau wedi'u hysgrifennu gan bobl ac wedi'u gwirio gan gyfrifiadur, o fwy na 12,000 o theoremau gan ddechrau o ddamcaniaeth setiau ZFC, rhesymeg trefn gyntaf a r hesymeg osodiadol.

Meysydd astudio

Mae damcaniaeth setiau yn faes ymchwil mawr mewn mathemateg, gyda llawer o is-feysydd cydberthynol.

Damcaniaeth set gyfuniadol

Mae damcaniaeth setiau gyfuniadol yn ymwneud ag estyn cyfuniadau cyfyngedig i setiau anfeidrol, ac mae'n cynnwys astudio rhifyddeg prifol ac astudio estyniadau i theorem Ramsey ee theorem Erdős-Rado. Mae damcaniaeth setiau estyniad dwbl (DEST) yn damcaniaeth setiau gwirebol a gynigiwyd gan Andrzej Kisielewicz sy'n cynnwys dau aelod perthynol ar wahân ar fydysawd setiau.

Damcaniaeth set ddisgrifiadol

Damcaniaeth set ddisgrifiadol yw'r astudiaeth o is-setiau o'r llinell real ac, yn fwy cyffredinol, is-setiau o ofodau Pwylaidd. Mae'n dechrau gyda'r astudiaeth o ddosbarthiadau pwynt (pointclasses) yn hierarchaeth Borel ac yn ymestyn i astudio hierarchaethau mwy cymhleth fel yr hierarchaeth dafluniol ac hierarchaeth Wadge. Gellir sefydlu llawer o briodweddau setiau Borel yn ZFC, ond mae profi bod yr eiddo hyn yn dal ar gyfer setiau mwy cymhleth yn gofyn am axiomau ychwanegol sy'n gysylltiedig â phenderfyniaeth a chardinaliaid mawr.

Damcaniaeth set niwlog

Mewn damcaniaeth setiau fel y diffiniodd Cantor a'i wirebu gan Zermelo a Fraenkel, mae gwrthrych naill ai'n aelod o set ai peidio. Mewn damcaniaeth setiau niwlog llaciwyd yr amod hwn gan Lotfi A. Zadeh. Oherwydd hyn, mae gan wrthrych rywfaint o aelodaeth mewn set, nifer rhwng 0 ac 1. Er enghraifft, mae graddfa aelodaeth person o fewn y set o "bobl dal" yn fwy hyblyg nag ateb ie neu na syml a gall fod yn rhif go iawn fel 0.75.

Roedd y mathemategydd Cymreig Mary Wynne Warner (22 Mehefin 1932 – 1 Ebrill 1998) yn arbenigo mewn mathemateg niwlog (fuzzy mathematics).^[12]^[13] Nododd ei hysgrif goffa ym Mwletin Cymdeithas Fathemategol Llundain mai topoleg niwlog oedd "y maes lle'r oedd hi'n un o'r arloeswyr ac fe'i cydnabyddir fel un o'r bobl flaenllaw dros y tri deg mlynedd ddiwethaf."^[14]

Prifolion mawr

Mae prifolyn mawr (large cardinal) yn rhifolyn gydag phriodweddau ychwanegol. Astudir llawer o briodweddau o'r fath, gan gynnwys rhifolion anhygyrch, rhifolion mesuradwy a llawer mwy. Mae'r priodweddau hyn fel rheol yn awgrymu bod yn rhaid i'r rhifolyn fod yn fawr iawn. Hynny yw, mae'r prifolion mawr yn fath penodol o briodwedd o rifau prifol trawsffiniol ac maent, fel yr awgryma'r enw, yn gyffredinol yn "fawr" (er enghraifft, yn fwy na'r α lleiaf fel α=ω_α). Ni ellir profi'r cynnig bod rhifolion o'r fath yn bodoli yn y gwirebu (axiomatization) mwyaf cyffredin o theori setiau, sef ZFC, a gellir ystyried cynigion o'r fath fel ffyrdd o fesur "faint" y tu hwnt i ZFC sydd angen tybio y gellir profi'r rhai o'r canlyniadau a ddymunir. Mewn geiriau eraill, gellir eu gweld, yn ymadrodd Dana Scott, fel meintioli'r ffaith "os ydych chi eisiau mwy mae'n rhaid i chi dybio mwy" ("if you want more you have to assume more").^[15]

Mae yna gonfensiwn bras y gellir nodi canlyniadau y gellir eu profi o ZFC yn unig heb ragdybiaethau, ond os yw'r prawf yn gofyn am ragdybiaethau eraill (megis bodolaeth y prifolion mawr), dylid nodi'r rhain. Mae p'un a yw hyn yn gonfensiwn ieithyddol, neu'n rhywbeth mwy, yn bwynt dadleuol ymhlith ysgolion athronyddol gwahanol.

Mae'r prifoliyn mawr gwirebol yn wireb sy'n nodi bod gan y prifolyn neu'r prifolion rywfaint o briodweddau'r prifolyn mawr penodol.

Penderfyniaeth

Mae penderfyniaeth (determinacy) yn cyfeirio at y ffaith, o dan ragdybiaethau priodol, bod rhai gemau dau chwaraewr o wybodaeth berffaith yn cael eu pennu o'r dechrau yn yr ystyr bod yn rhaid i un chwaraewr fod â strategaeth fuddugol.^[16]^[17] Mae bodolaeth y strategaethau hyn yn arwain at ganlyniadau pwysig mewn theori set ddisgrifiadol, gan fod y dybiaeth bod dosbarth ehangach o gemau yn aml yn awgrymu y bydd gan ddosbarth ehangach o setiau briodwedd topolegol. Mae wireb benderfyniaeth (axiom of determinacy) yn wrthrych pwysig a astudir yn helaeth; er ei fod yn anghydnaws â'r wireb o ddewis, mae wireb hon yn ei awgrymu, bod holl is-setiau'r llinell real yn ymddwyn yn dda (yn benodol, yn fesuradwy a chyda'r priodwedd set perffaith). Gellir defnyddio'r wireb benderfyniaeth i brofi bod gan graddau Wadge strwythur cain.^[18]^[19]^[20]

Y ddamcaniaeth setiau mewn addysg

Wrth i ddamcaniaeth setiau ennill ei blwyf fel sylfaen ar gyfer mathemateg fodern, bu cefnogaeth i'r syniad o gyflwyno hanfodion y ddamcaniaeth setiau naïf yn y blynyddoedd cynnar.

Yn yr UD yn y 1960au, nod yr arbrawf 'Math Newydd' (New Math) oedd dysgu damcaniaeth setiau sylfaenol, ymhlith cysyniadau haniaethol eraill, i ddisgyblion cynradd, ond cafodd ei feirniadu'n hallt gan lawer. Dilynwyd hyn gan faes llafur mathemateg rhai ysgolion Ewropeaidd, ac ar hyn o bryd mae'n cynnwys y pwnc ar wahanol lefelau ym mhob gradd ac oedran. Defnyddir diagramau Venn yn eang i egluro perthnasoedd setiau-theoretig sylfaenol i fyfyrwyr ysgolion cynradd (er i John Venn eu dyfeisio'n wreiddiol fel rhan o weithdrefn i asesu dilysrwydd casgliadau mewn term rhesymeg).

Defnyddir damcaniaeth setiau i gyflwyno myfyrwyr i weithredwyr rhesymegol (NID, AC, NEU), a disgrifiadau semantig o setiau (ee "misoedd gan ddechrau gyda'r llythyren A"), a allai fod yn ddefnyddiol wrth ddysgu rhaglennu cyfrifiadurol, gan fod rhesymeg boolean yn cael ei ddefnyddio mewn amryw o ieithoedd rhaglennu.^[21] Yn yr un modd, mae setiau a gwrthrychau eraill a gesglir ee aml-setiau (multisets) a rhestrau, yn fathau o ddata cyffredin mewn gwyddoniaeth gyfrifiadurol a rhaglennu.

Yn ogystal â hynny, cyfeirir yn aml at setiau mewn addysgu mathemategol wrth siarad am wahanol fathau o rifau ( $N$ , $Z$ , $R$ , ...), ac wrth ddiffinio ffwythiant mathemategol fel perthynas o un set (y parth) i set arall (yr ystod).

Nodiadau

↑ Yn ei bapur yn 1925 An Axiomatization of Set Theory ", Sylwodd John von Neumann fod" gosod theori yn ei fersiwn "naïf" gyntaf, oherwydd Cantor, wedi arwain at wrthddywediadau. Dyma'r antinomies adnabyddus yn y set o bob set nad ydyn nhw'n cynnwys eu hunain (Russell), o'r set o'r holl rifau trefnol trawsffiniol (Burali-Forti), a'r set o bob real y gellir ei ddiffinio'n derfynol yn rhifau real (Richard)." A rhagddo i arsylwi bod dau "duedd" yn ceisio ailsefydlu damcaniaeth setiau. O'r ymdrech gyntaf, a ddangosir gan Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl a LEJ Brouwer, von Neumann o'r enw the overall effect of their activity . . . devastating". O ran y dull gwirebol a ddefnyddir gan ail grŵp sy'n cynnwys Zermelo, Fraenkel a Schoenflies, roedd von Neumann yn poeni" Ni welwn ond bod y dulliau casglu hysbys sy'n arwain at yr antinomïau yn methu, ond pwy a ŵyr lle nad oes eraill? "ac fe osododd at y dasg," yn ysbryd yr ail grŵp ", i" gynhyrchu, trwy nifer gyfyngedig o weithrediadau cwbl ffurfiol. . . yr holl setiau yr ydym am eu gweld yn cael eu ffurfio "ond heb ganiatáu ar gyfer yr antinomïau. (Ailargraffwyd yr holl ddyfyniadau o von Neumann 1925 yn van Heijenoort, Jean (1967, trydydd argraffiad 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Matamataical Logic, 1879–1931 , Gwasg Prifysgol Harvard, Caergrawnt MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Gellir gweld crynodeb o'r hanes, a ysgrifennwyd gan van Heijenoort, yn y sylwadau a rhagflaenu papur 191 Neumann 195.

Darllen pellach

Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose (2007), Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6, https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press
Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory And The Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6, https://books.google.com/books?id=02ASV8VB4gYC

Dolenni allanol

Daniel Cunningham, erthygl ar y ddamcaniaeth setiau yn y Gwyddoniadur Rhyngrwyd o Athroniaeth .
Jose Ferreiros, erthygl The Early Development of Set Theory yn y Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Fforman, Matthew, Akihiro Kanamori, gol. Llawlyfr Damcaniaeth Setiau. 3 cyfrol., 2010. Mae pob pennod yn arolygu rhyw agwedd ar ymchwil gyfoes mewn damcaniaeth setiau. Nid yw'n ymdrin â damcaniaeth setiau elfennol sefydledig, y mae Devlin (1993) yn ei defnyddio.
"Axiomatic set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre yn gwyddoniadur Klein .
Rudin, Walter B. (April 6, 1990). "Set Theory: An Offspring of Analysis". Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2021-12-09. Cyrchwyd 2021-12-09.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)

Cyfeiriadau

↑ (Saesneg) set theory. Encyclopædia Britannica. Adalwyd ar 8 Awst 2016.
↑ Kunen 1980, t. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics Mai be derived."
↑ Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (yn de), Journal für die reine und angewandte Mathematik 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583
↑ Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6, https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6
↑ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ed., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7
↑ Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
↑ Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press, https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up
↑ "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. Cyrchwyd 2020-08-20.
↑ Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), Introductory Real Analysis (Rev. English ed.), New York: Dover Publications, pp. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264, https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2
↑ "set theory | Basics, Examples, & Formulas". Encyclopedia Britannica (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-20.
↑ Bagaria, Joan (2020), Zalta, Edward N., ed., "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Metaphysics Research Lab, Stanford University), https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/set-theory/, adalwyd 2020-08-20
↑ M. W. Warner, "Fuzzy topology with respect to continuous lattices," Fuzzy Sets and Systems 35(1)(1990): 85–91. doi:10.1016/0165-0114(90)90020-7
↑ M. W. Warner, "Towards a Mathematical Theory of Fuzzy Topology" in R. Lowen and M. R. Roubens, eds., Fuzzy Logic: State of the Art (Springer 1993): 83–94. ISBN 9789401048903
↑ I. M. James and A. R. Pears, "Obituary: Mary Wynne Warner (1932–1998)" Bulletin of the London Mathematical Society 34(6)(December 2001): 745–752. DOI: 10.1112/S0024609302001467
↑ Bell, J.L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory. Oxford University Press. viii. ISBN 0-19-853241-5.
↑ Soare, Robert I. (2016). Turing Computability: Theory and Applications. tt. 217ff. ISBN 978-3-6423-1932-7.
↑ Kechris, Alexander S. (1995). Classical Descriptive Set Theory. Graduate Texts in Mathematics. 156. Springer-Verlag. t. 52. ISBN 978-0-387-94374-9.
↑ https://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010) Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)
↑ "Infinite Chess, PBS Infinite Series" PBS Infinite Series, with sources including academic papers by J. Hamkins (infinite chess:: https://arxiv.org/abs/1302.4377 and https://arxiv.org/abs/1510.08155).
↑ Benedikt Löwe (2006). SET THEORY OF INFINITE IMPERFECT INFORMATION. CiteSeerX.
↑ Frank Ruda (6 Hydref 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. t. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

Dolenni allanol

(Saesneg) An Introduction to Set Theory gan William A. R. Weiss (Prifysgol Toronto)
(Saesneg) Damcaniaeth setiau ar y periaint cyfrifiannol WolframAlpha

[12] Yn ei bapur yn 1925 An Axiomatization of Set Theory ", Sylwodd John von Neumann fod" gosod theori yn ei fersiwn "naïf" gyntaf, oherwydd Cantor, wedi arwain at wrthddywediadau. Dyma'r antinomies adnabyddus yn y set o bob set nad ydyn nhw'n cynnwys eu hunain (Russell), o'r set o'r holl rifau trefnol trawsffiniol (Burali-Forti), a'r set o bob real y gellir ei ddiffinio'n derfynol yn rhifau real (Richard)." A rhagddo i arsylwi bod dau "duedd" yn ceisio ailsefydlu damcaniaeth setiau. O'r ymdrech gyntaf, a ddangosir gan Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl a LEJ Brouwer, von Neumann o'r enw the overall effect of their activity . . . devastating". O ran y dull gwirebol a ddefnyddir gan ail grŵp sy'n cynnwys Zermelo, Fraenkel a Schoenflies, roedd von Neumann yn poeni" Ni welwn ond bod y dulliau casglu hysbys sy'n arwain at yr antinomïau yn methu, ond pwy a ŵyr lle nad oes eraill? "ac fe osododd at y dasg," yn ysbryd yr ail grŵp ", i" gynhyrchu, trwy nifer gyfyngedig o weithrediadau cwbl ffurfiol. . . yr holl setiau yr ydym am eu gweld yn cael eu ffurfio "ond heb ganiatáu ar gyfer yr antinomïau. (Ailargraffwyd yr holl ddyfyniadau o von Neumann 1925 yn van Heijenoort, Jean (1967, trydydd argraffiad 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Matamataical Logic, 1879–1931 , Gwasg Prifysgol Harvard, Caergrawnt MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Gellir gweld crynodeb o'r hanes, a ysgrifennwyd gan van Heijenoort, yn y sylwadau a rhagflaenu papur 191 Neumann 195.

[1] (Saesneg) set theory. Encyclopædia Britannica. Adalwyd ar 8 Awst 2016.

[FOOTNOTEKunen1980xi-2] Kunen 1980, t. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics Mai be derived."

[cantor1874-3] Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (yn de), Journal für die reine und angewandte Mathematik 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583

[4] Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6, https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6

[5] Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ed., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7

[6] Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.

[7] Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press, https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up

[8] "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. Cyrchwyd 2020-08-20.

[9] Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), Introductory Real Analysis (Rev. English ed.), New York: Dover Publications, pp. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264, https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2

[10] "set theory | Basics, Examples, & Formulas". Encyclopedia Britannica (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-20.

[11] Bagaria, Joan (2020), Zalta, Edward N., ed., "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Metaphysics Research Lab, Stanford University), https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/set-theory/, adalwyd 2020-08-20

[13] M. W. Warner, "Fuzzy topology with respect to continuous lattices," Fuzzy Sets and Systems 35(1)(1990): 85–91. doi:10.1016/0165-0114(90)90020-7

[14] M. W. Warner, "Towards a Mathematical Theory of Fuzzy Topology" in R. Lowen and M. R. Roubens, eds., Fuzzy Logic: State of the Art (Springer 1993): 83–94. ISBN 9789401048903

[Obit1-15] I. M. James and A. R. Pears, "Obituary: Mary Wynne Warner (1932–1998)" Bulletin of the London Mathematical Society 34(6)(December 2001): 745–752. DOI: 10.1112/S0024609302001467

[16] Bell, J.L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory. Oxford University Press. viii. ISBN 0-19-853241-5.

[17] Soare, Robert I. (2016). Turing Computability: Theory and Applications. tt. 217ff. ISBN 978-3-6423-1932-7.

[18] Kechris, Alexander S. (1995). Classical Descriptive Set Theory. Graduate Texts in Mathematics. 156. Springer-Verlag. t. 52. ISBN 978-0-387-94374-9.

[Infinite_Games-19] ttps://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010) Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)

[20] "Infinite Chess, PBS Infinite Series" PBS Infinite Series, with sources including academic papers by J. Hamkins (infinite chess:: https://arxiv.org/abs/1302.4377 and https://arxiv.org/abs/1510.08155).

[21] Benedikt Löwe (2006). SET THEORY OF INFINITE IMPERFECT INFORMATION. CiteSeerX.

[Ruda2011-22] Frank Ruda (6 Hydref 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. t. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[note 1]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]